IMO 2005/5

[wangjiezhe]

给定凸四边形 $ABCD$，$BC=AD$，且 $BC$ 不平行于 $AD$。设点 $E$ 和 $F$ 分别在边 $BC$ 和 $AD$ 的内部，满足 $BE=DF$。直线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $P$，直线 $BD$ 和 $EF$ 相交于点 $Q$，直线 $EF$ 和 $AC$ 相交于点 $R$。证明：当点 $E$ 和 $F$ 变动时，三角形 $PQR$ 的外接圆经过除点 $P$ 外的另一个定点。

[wangjiezhe]

考虑把 $AD$ 变为 $CB$ 的旋转位似变换 $T$，设变换的中心为 $M$，则 $M$ 是完全四边形 $ACBD$ 的密克点，因此 $M\in(ADP)$。

因为 $\frac{AF}{AD}=\frac{CE}{CB}$，因此 $T$ 把 $AF$ 变为 $CE$。因此 $M$ 是完全四边形 $ACEF$ 的密克点，因此 $M\in(ZFR)$。

考虑完全四边形 $APQF$，由上面两组共圆可知 $M$ 是 $APQF$ 的密克点，因此 $M\in(PQR)$，故 $M$ 即为所求的定点。

[wangjiezhe]

设 $\triangle APD$ 和 $\triangle BPC$ 的外接圆的第二个交点为 $M$，易证 $\triangle MAD\cong\triangle MCB$，$\triangle MAF\cong \triangle MCE$，因此 $MA=MC$，$MB=MD$，$ME=MF$。

过 $M$ 分别作 $AC$、$BD$、$EF$ 的垂线，垂足依次为 $X$、$Y$、$Z$，则 $X$、$Y$、$Z$ 分别是 $AC$、$BD$、$EF$ 的中点。

设 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{AD}$，则

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MF}&=(1-\lambda)\cdot \overrightarrow{MA}+\lambda \cdot \overrightarrow{MD} \\ \overrightarrow{ME}&=\lambda \cdot \overrightarrow{MB}+(1-\lambda)\cdot \overrightarrow{MC} \end{aligned} $$

因此

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MZ}&=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\right) \\ &= (1-\lambda)\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right) + \lambda \cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\right) \\ &= (1-\lambda)\cdot \overrightarrow{MX}+\lambda \cdot \overrightarrow{MY} \end{aligned} $$

故 $X$、$Y$、$Z$ 共线。

由西姆松定理的逆定理可知，$M$ 在 $\triangle PQR$ 的外接圆上。